a: góc ACM=1/2*sđ cung AM=90 độ

góc BAD+góc ABD=90 độ

góc MAC+góc AMC=90 độ

mà góc ABD=góc AMC

nên góc BAD=góc MAC

b: góc AEB=góc ADB=90 độ

=>AEDB nội tiếp

a)

Xét (O) có

M là trung điểm của dây BC(gt)

nên OM\(\perp\)BC(Định lí đường kính vuông góc với dây)

Xét tứ giác BMOF có 

\(\widehat{BFO}+\widehat{BMO}=180^0\left(90^0+90^0=180^0\right)\)

nên BMOF là tứ giác nội tiếp(Dấu hiệu nhận biết tứ giác nội tiếp)

\(\widehat{\text{AFB}}=\widehat{ADB}=90^0\)

Mà ÀB và ADB là hai góc kề cùng nhìn AB dưới hai góc bằng nhau => ÀDB nội tiếp

b) ta có \(\widehat{ACB}=\widehat{AEB}\)( cùng chắn cung AB)

\(\widehat{DFC}=\widehat{BAF}\)( trong tứ giác nội tiếp góc ngaoif tại một đỉnh bằng góc trong đỉnh còn lại )

\(\Rightarrow\widehat{ACB}+\widehat{FDC}=\widehat{BAF}+\widehat{BAE}=90^0\)

\(\Rightarrow DF\perp CA\)

dĐAEDƯÈWEWÈWÉWÈWẺ3GWDFCEWFSCAWECFASEFSAD

Lời giải:

a)

HM⊥AB;HN⊥AC⇒HMAˆ=HNAˆ=900HM⊥AB;HN⊥AC⇒HMA^=HNA^=900

Xét tứ giác AMHNAMHN có tổng 2 góc đối HMAˆ+HNAˆ=900+900=1800HMA^+HNA^=900+900=1800 nên AMHNAMHN là tứ giác nội tiếp (đpcm)

b)

Vì AMHNAMHN nội tiếp ⇒AMNˆ=AHNˆ⇒AMN^=AHN^

Mà AHNˆ=ACBˆ(=900−NHCˆ)AHN^=ACB^(=900−NHC^)

⇒AMNˆ=ACBˆ⇒AMN^=ACB^

Xét tam giác AMNAMN và ACBACB có:

{Aˆ−chungAMNˆ=ACBˆ(cmt)⇒△AMN∼△ACB(g.g){A^−chungAMN^=ACB^(cmt)⇒△AMN∼△ACB(g.g)

⇒AMAC=ANAB⇒AM.AB=AC.AN⇒AMAC=ANAB⇒AM.AB=AC.AN (đpcm)

c)

Ta có: ACBˆ=AEBˆACB^=AEB^ (góc nội tiếp chắn cung ABAB)

ACBˆ=AMNˆACB^=AMN^ (cmt)

⇒AEBˆ=AMNˆ⇒AEB^=AMN^

⇔IEBˆ=1800−BMIˆ⇔IEB^=1800−BMI^

⇔IEBˆ+BMIˆ=1800⇔IEB^+BMI^=1800, do đó tứ giác BMIEBMIE nội tiếp

⇒MIEˆ=1800−MBEˆ=1800−900=900⇒MIE^=1800−MBE^=1800−900=900 (MBEˆ=ABEˆ=900MBE^=ABE^=900 vì là góc nt chắn nửa đường tròn)

⇒MN⊥AE⇒MN⊥AE . Ta có đpcm.

Chúc bạn học tốt

+ ) Ta thấy ngay hai tam giác vuông AHC và ANC có chung cạnh huyền AC nên A, H, N, C cùng thuộc đường tròn đường kính AC.

\(\Rightarrow\widehat{HNA}=\widehat{HCA}\) (Hai góc nội tiếp cùng chắn cung AH)

Ta thấy ngay hai tam giác vuông AMB và AHB có chung cạnh huyền AB nên A, M, H, B cùng thuộc đường tròn đường kính AB.

\(\Rightarrow\widehat{HMN}=\widehat{ABH}\) (Góc ngoài tại đỉnh đối diện bằng góc trong tại đỉnh)

Vậy nên \(\Delta ABC\sim\Delta HMN\left(g-g\right)\)

+) Ta có \(\widehat{ADC}=\widehat{ABC}\)  (Hai góc nội tiếp cùng chắn cung AC)

Mà \(\Delta ABC\sim\Delta HMN\Rightarrow\widehat{ABC}=\widehat{HMN}\) 

nên \(\widehat{ADC}=\widehat{HMN}\)

Chúng lại ở vị trí so le trong nên DC // HM

Ta có \(DC\perp AC\Rightarrow HM\perp AC\)

Gọi J là trung điểm AB

Ta có ngay IJ là đường trung bình tam giác ABC nên IJ // AC

Vậy nên \(HM\perp IJ\)

Mà J là tâm đường tròn ngoại tiếp tứ giác AMHB nên IJ vuông góc cung HM tại trung điểm HM hay IJ là trung trực của HM.

Vậy thì IM = IH.

Tương tự ta có IM = IH = IN hay I là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác HMN.

ad dqi

Chọn đáp án D

* Chứng minh các tứ giác ABHF và BMFO nội tiếp.

- Từ giả thiết suy ra: 

=> H và F thuộc đường tròn đường kính AB (quỹ tích cung chứa góc)

Vậy tứ giác ABHF nội tiếp đường tròn đường kính AB

- Gọi M là trung điểm của BC (gt), suy ra: OM ⊥ BC

Khi đó: 

Nên M, F thuộc đường tròn đường kính OB(quỹ tích cung chứa góc).

Vậy tứ giác BMOF nội tiếp đường tròn đường kính OB

* Chứng minh HE // BD.

Dễ chứng minh tứ giác ACEH nội tiếp đường tròn đường kính AC.

Và chúng ở vị trí so le trong suy ra: HE // BD